Блиц-лента

Да, можно. Закон устанавливает правило не реже 2 раз в месяц (ст. 136 ТК РФ), максимальное количество не ограничивает. Условия ежедневной выплаты заработной платы должны быть установлены договором с работником и локальными актами компании.

Ст. 131 и 136 ТК РФ: суть в том, что они не содержат требования к типу расчетов - значит, позволяют выплату наличными денежными средствами. Условие о типе расчетов наличными должно быть в договоре с работником и в ЛНА.
При выплате наличными нужно учитывать положения ФЗ-173, который запрещает выплаты нерезидентам, и правила работы с наличными денежными средствами, установленные ПБУ и ЦБ РФ.
Подробнее об этом мы писали здесь - Зарплата наличными: законно ли платить через кассу, какие сложности и риски есть?

У работодателя нет обязанностей на предоставление, а у матери-одиночки прав на льготы от компании, если это специально не оговорено локальными нормативными актами или действующим в компании Колдоговором.
По закону мать-одиночка - это специальный социальный статус, но не льготная категория.

Нет, это незаконно и считается дискриминацией, если работники находятся на одинаковых должностях и в одном регионе. Подробнее об этом мы писали здесь - Зарплата на удаленке - размер, как установить: здравый смысл и что говорит закон?
Если работник принят на должность, отличную от остальных, то оклад устанавливается по действующей системе оплаты труда или по договоренности сторон в любом размере, не ниже текущего МРОТ.

Матери-одиночки обеспечены гарантиями по ТК РФ:

• запрет на увольнение, если ребенку до 16 лет или ребенок - инвалид в возрасте до 18 лет (ст. 261 ТК РФ): кроме увольнений в связи с нарушениями, подлогом, виновными действиями работника или ликвидации организации
• дополнительный отпуск без сохранения зарплаты вне очереди, если ребенку до 14 лет и такой отпуск предусмотрен Колдоговором (ст. 263 ТК РФ)
• право на работу в режиме неполного рабочего времени, если ребенку до 14 лет или ребенок - инвалид в возрасте до 18 лет (ст. 93 ТК РФ)
• невозможность привлечения к ночной или сверхурочной работе и направления в командировки без согласия до достижения ребенком 14 лет (ст. 259 ТК РФ)

Да, может.
Системы оплаты труда устанавливаются локальными актами работодателя (ст. 22 и 135 ТК РФ), он вправе определять ее состав, размеры и дифференциацию оплаты.
На практике, заработная плата подчиненного может быть выше по нескольким причинам:

1. она установлена трудовым договором исходя из квалификации, выполняемых обязанностей и круга решаемых вопросов: они ценнее и значимее для компании, чем состав работ руководителя
2. она установлена выше исходя из эффективности конкретного работника
3. она установлена выше по внутриорганизационным причинам: например, подчиненный фактически руководит функцией, но номинально занимает должность ниже, т.к. руководителю сохраняют рабочее место
4. работник фактически зарабатывает больше по выполняемым показателям (KPI, участие в проектах)

Если по закону, то могут - никакого специального запрета нет. ФЗ-98 о коммерческой тайне прямо указывает на то, что сведения о системах оплаты труда не составляют тайны. Обязать работника не рассказывать о своей зарплате нельзя.
А вот обсуждать чужие зарплаты могут не особо - это закон о персональных данных ФЗ-152, статья 7 которого запрещает распространять информацию о персональных данных без согласия владельца.
На практике обсуждение зарплат или открытые сведения о зарплатах приводят к конфликтам между работниками, если система оплаты труда и руководство воспринимаются ими как несправедливые.

Да, можно, если конкретные даты выплаты установлены в трудовых договорах и оговорены в положении по оплате труда или ПВТР.

Нет, это незаконно. Ст. 136 ТК РФ обязывает выплачивать заработную плату не реже чем каждые полмесяца. Развернуто на этот вопрос мы отвечали здесь - Можно ли платить заработную плату работнику один раз в месяц без авансов?

Да, если премирование определено как механизм индексации локальными нормативными актами работодателя (ст. 134 ТК РФ), при этом у него нет иных обязательств.
Понятный гид мы разместили здесь - Индексация зарплат: как, сколько и какие компании должны проводить.